L'Alba i el Teorema de Pitàgores

Quan va arribar a casa l'Alba no deixava de donar voltes al problema que els hi havia proposat el professor de matemàtiques: Si en un triangle rectangle isòsceles es construeixen quadrats sobre els catets i la hipotenusa, hi ha una manera de retallar els dels catets de forma que omplin el de la hipotenusa sense que es solapin. Va fer un parell de proves i tot d'una va veure que si dividia els quadrats dels catets per la diagonal aleshores aquesta era igual a la hipotenusa i va veure que tot encaixava perfectament:
LAlba i el Teorema de Pitàgores 1
Això la va deixar satisfer, però tot d'una va pensar, què passaria si un dels catets era el doble de l'altre. Va estar rumiant molta estona sense obtenir cap resultat, però com que el professor els hi havia dit molts cops que procuressin fixar-se en el que els havia permés solucionar el problema, es va adonar que haver dibuixat la diagonal i veure que era la hipotenusa, li havia donat la solució. Va pensar que si podia fer apareixer la hipotenusa podria resoldre el problema. Com fer-ho. Si simetritzo el triangle en el quadrat de catet doble faig apareixer la hipotenusa. Ja està, ja ho tinc:
LAlba i el Teorema de Pitàgores 2
Tot encaixa perfectament. L'Alba va quedar sorpresa del seu descobriment. Era molt curiosa i com que el professor havia insistit en que un cop resolt un problema si podien anar un xic més lluny intentessin aconseguir nous resultats, va pensar què passaria si un catet era el triple de l'altre. Fer apreixer l'hipotenusa havia funcionat, va tornar a simetritzar el trinagle en el quadrat del catet gran, i fer al mateix que abans, però ara tenia 6 triangles i només en necessitava, 4 doncs un quadrat té 4 costats. Ho va deixar amb 4 triangles i aleshores va veure que on abans tot just necessitava 1 quadrat de costat el catet petit ara en necessitava 4, i va fer el següent:
LAlba i el Teorema de Pitàgores 3
A partir d'aquí ja va veure com havia de seguir quan al catet gran era 4, 5,... vegades el petit. Com podia continuar... Què passaria si un catet meurés 2 i l'altre 5? Va fer el dibuix i va fer apareixer els quatre triangles iguals al inicial, li quedava un rectangle que no sabia com dividir... Buf! Això li va costar molt però remenant i remenant per fi va trobar com ho havia de fer. Va dividir el rectangle amb una creu pels punts mitjos dels costats i amb les peces obtingudes va formar un marc dins del quadrat que determinen els 4 trinagles on el quadrat sobre el catet petit hi encaixava perfectament:
LAlba i el Teorema de Pitàgores 4
L'Alba estava molt contenta de tot el que havia trobat i tot d'una es va adonar que sempre que el catet gran fos més del doble del petit la tècnica que acabava d'utilitzar era vàlida i molt satisfeta se'n va anar a dormir.
Al matí del dia següent es va despertar molt d'hora, s'havia passat la nit somiant amb triangles i quadrats que anaven encaixant i es va adonar de que no s'havia plantejat què passaria si el catet petit mesurava 3 i el gran 5, per això havia tingut tants mals sons. El professor els hi havia dit que no deixessin mai de considerar totes les possibilitats i es va posar mans a l'obra. Caram! Ara dins del quadrat sobre el catet gran no hi podia posar els 4 triangles. Buf quin rotllo! Això feia la qüestió molt més difícil.
Algun cop el professor havia dit que encara que semblés que una idea no funcionava intentessin veure com es podia aprofitar. L'Alba que era molt tenaç va fer el següent dibuix:
LAlba i el Teorema de Pitàgores 5
Al matí va provar moltes coses per tal d'inquibir el trianglet que sobrava en alguna cosa que tingués lògica. Els pares la van cridar a dinar, li van preguntar què feia tot el dia tancada a l'habitació. Els hi va dir que estava intentant posar els quadrats sobre els catets en el quadrat sobre l'hipotenusa d'un triangle rectangle. Ah! va dir la mare, això és el teorema de Pitàgores, i com et va? Estic encallada amb una cosa que no tinc clar com resoldre, va contestar l'Alba. Bé, li va dir la mare, reposa i quan t'hi tornis a posar, més tranquila, veuràs com ho has de fer.
Quan es va posar a treballar, es va adonar de que havia deixat de banda el quadrat sobre el catet petit i va decidir de posar-lo al costat de l'altre quadrat, això tenia lògica, va completar el triangle que estava escapçat i no sense esforç va arribar a la següent construcció:
LAlba i el Teorema de Pitàgores 6
Amb aquesta construcció va ser capaç de trobar-ne una de general per quan el catet gran és menys del doble del catet petit, així l'Alba va aconseguir una solució general del teorema de Pitàgores.
  • Hits: 90

ESCOLA D'ESCRIPTURA

ESCUELA DE ESCRITORES

ESCUELA DE ESCRITORES

EDITORIAL GALAXIA

AEELG

METODE

RESIDENCIA D'INVESTIGADORS

INVESTIGACIÓN Y CIENCIA

AELC

IDATZEN

EL HUYAR

EUSKAL ETXEA

BIBLIOTEQUES DE BARCELONA